Longitud d'arc

longitud d'arc - Wikilingue - Encydia

Per a altres usos d'aquest terme, vegeu Longitud.

En matemàtica, la longitud d'arc, també cridada rectificació d'una corba, és la mesura de la distància o camí recorregut al llarg d'una corba o dimensió lineal. Històricament, ha estat difícil determinar aquesta longitud en segments irregulars; encara que van ser usats diversos mètodes per a corbes específiques, l'arribada del càlcul va portar amb si la fórmula general per obtenir solucions tancades per a alguns casos.

Contingut

1 Mètodes moderns
2 Deducció de la fórmula per a funcions d'una variable
3 Mètodes Històrics
- 3.1 Antiguitat
- 3.2 s. XVII
4 Vegeu també

Mètodes moderns

En considerar una corba definida per una funció $f \left ( x \right )$ i la seva respectiva derivada $f' \left ( x \right )$ que són contínues en un interval [a, b], la longitud S de l'arc delimitat per a i b és donada per l'equació:

(1) $S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx$

En el cas d'una corba definida paramètricament mitjançant dues funcions depenents de t com $x = f \left ( t \right )$ $y = g \left ( t \right )$ i , la longitud de l'arc des del punt $(f(a), g(a)) \,$ fins al punt $(f(b), g(b))\,$ es calcula mitjançant:

(2) $S = \int_{a}^{b} \sqrt{\left [ f' \left ( t \right ) \right ] ^2 + \left [ g' \left ( t \right ) \right ] ^2} \, dt$

Si la funció aquesta definida per coordenades polars on la coordenades radial i l'angle polar estan relacionats mitjançant $r = f (\theta)\,$ , la longitud de l'arc comprès en l'interval $[\alpha, \beta] \,$ , pren la forma:

(3) $S = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[ f (\theta)]^2 + \left [ f' (\theta) \right ] ^2} \, d \theta\$

En la majoria dels casos, no hi ha una solució tancada disponible i serà necessari usar mètodes d'integració numèrica. Per exemple, aplicar aquesta fórmula a la circumferència d'una el·lipse portarà a una integral el·líptica de segon ordre.

Entre les corbes amb solucions tancades estan la catenària, el cercle, la cicloide, l'espiral logarítmica, la paràbola, la paràbola semicúbica i la línia recta.

Deducció de la fórmula per a funcions d'una variable

Suposem que tenim una corba rectificable qualsevol, regida per una funció $f \left ( x \right )$ , i suposem que volem aproximar la longitud de l'arc de corba $S$ que va des d'un punt $a$ a $b$ un . Amb aquest propòsit podem dissenyar una sèrie de triangles rectangles les hipotenuses concatenades dels quals "cobreixin" l'arc de corba triat tal com es veu en la figura. Per fer a aquest mètode "més funcional" també podem exigir que les bases de tots aquells triangles siguin iguals a $\Delta x$ , de manera que para cadascun existirà un catet $\Delta y$ associat, depenent del tipus de corba i de l'arc triat, sent llavors cada hipotenusa igual a $\sqrt {\Delta x^2 + \Delta y^2}$ , en aplicar-se el teorema pitagòric. Així, una aproximació d'estaria $S$ donada per la sumatòria de totes aquelles $n$ hipotenuses desplegades. Per això hem de;

$S \sim \sum_{i=1}^n \sqrt { \Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 }$

Passem a operar algebraicament la forma en què calculem cada hipotenusa per arribar a una nova expressió;

$\sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 }=\sqrt{ ({\Delta x^2 + \Delta y^2}).(\Delta x^2 / \Delta x^2)}=\sqrt { 1 + \Delta y^2 / \Delta x^2}.\Delta x=\sqrt { 1 + ({\Delta y / \Delta x})^2 }.\Delta x$

Després, el nostre resultat previ pren la següent forma:

$S \sim \sum_{i=1}^n \sqrt { 1 + ({\Delta y_i / \Delta x_i})^2 }.\Delta x_i$

Ara bé, mentre més petits siguin aquests $n$ segments, millor serà l'aproximació buscada; seran tan petits com desitgem fent que $\Delta x$ tenda a zero. Així, $\Delta x$ esdevé en $dx$ , i cada quocient incremental ${\Delta y_i / \Delta x_i}$ es transforma en $dy/dx$ un general, que és per definició $f ' \left ( x \right )$ . Donats aquests canvis, la nostra aproximació anterior es converteix en una sumatòria més fina i ara exacta, una integració d'infinits segments infinitessimals;

$S = \lim_{\Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^\infty \sqrt { 1 + ({\Delta y_i / \Delta x_i})^2 }.\Delta x_i = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 } dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx$

Mètodes Històrics

Antiguitat

A través de la història de les matemàtiques, grans pensadors van considerar impossible calcular la longitud d'un arc irregular. Encara que Arquimedes havia descobert una aproximació rectangular per calcular l'àrea sota una corba amb un mètode d'esgotament, pocs van creure que era possible que una corba tingués una longitud definida, com les línies rectes. Els primers mesuraments es van fer possibles, com ja és comú en el càlcul, a través d'aproximacions: els matemàtics de l'època traçaven un polígon dins de la corba, i calculaven la longitud dels costats d'aquest per obtenir un valor aproximat de la longitud de la corba. Mentre s'usaven més segments, disminuint la longitud de cadascun, s'obtenia una aproximació cada vegada millor.

s. XVII

En aquesta època, el mètode d'esgotament va portar a la rectificació per mètodes geomètrics de moltes corbes transcendentals: l'Espiral logarítmica de Torricelli en 1645 (alguns pensen que va ser John Wallis en 1650), el Cicloide de Christopher Wren en 1658, i la Catenària de Gottfried Leibniz en 1691.