Distància

distància - Wikilingue - Encydia

La distància expressa la proximitat o llunyania entre dos objectes, o l'interval de temps que transcorre entre dos successos. També s'empra com a expressió per indicar una relació d'allunyament afectiu entre dues persones: el desafecto.

Plànol de Manhattan. La distància euclidiana (segment verd), no es correspon amb el «camí més curt» ens dos punts d'aquesta ciutat, a més de no ser únic.

La menor distància entre dos punts recorreguda sobre la superfície d'una esfera és un arc de cercle màxim: l'ortodròmica .

En matemàtica, la distància entre dos punts de l'espai euclidià equival a la longitud del segment de recta que els uneix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la geometria no euclidiana, el «camí més curt» entre dos punts és un segment de corba.

En física, la distància és una magnitud escalar, que s'expressa en unitats de longitud o temps.

Contingut

1 Distància en geometria
2 Definició formal
- 2.1 Distància d'un punt a un conjunt
- 2.2 Distància entre dos conjunts
3 Vegeu també

Distància en geometria

Es denomina distància euclidiana entre dos punts $A(x_1, y_1)$ i $B(x_2, y_2 )$ del plànol a la longitud del segment de recta que té per extrems $A$ i $B$ . Pot calcular-se així:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

La distància entre un punt $P$ i una recta $R$ és la longitud del segment de recta que és perpendicular a la recta $R: Ax + By + C = 0$ i la uneix al punt $P(x_1, y_1)$ . Pot calcular-se així:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

on |·| denota valor absolut.

La distància entre dues rectes paral·leles és la longitud del segment de recta perpendicular a ambdues que les uneix.

La distància entre un punt $P$ i un plànol $L$ és la longitud del segment de recta perpendicular al plànol $L : Ax + By + Cz + D = 0$ que ho uneix al punt P (x₁,i₁,z₁) i pot calcular-se així:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Definició formal

Des d'un punt de vista formal, per a un conjunt d'elements $X$ es defineix distància o mètrica com qualsevol funció binària $d(a,b)$ de $X \times X$ $\mathbb{R}$ que verifiqui les següents condicions:

No negatividad: $d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X$
Simetria: $d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X$
Desigualtat triangular: $d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X$
$\forall x \in X : d(x,x)=0$ .
Si $x,y \in X$ són tals que $d(x,y)=0$ , llavors $x=y$ .

Si deixem d'exigir que es compleixi aquesta última condició, al concepte resultant se li denomina pseudodistancia o pseudométrica.

La distància és el concepte fonamental de la Topologia d'Espais Mètrics. Un espai mètric no és una altra cosa que un parell $(X,d)$ , on $X$ és un conjunt en el qual definim una distància $d$ .

En el cas que tinguéssim un parell $(X,d)$ i $d$ fora una pseudodistancia sobre $X$ , llavors diríem que tenim un espai pseudométrico.

Si $(X,d)$ és un espai mètric i $E \subset X$ , podem restringir $d$ a $E$ de la següent forma: $d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}$ de manera que si $x,y \in E$ llavors $d'(x,y)=d(x,y)$ (és a dir, $d'=d|_{E \times E}$ ). L'aplicació $d'$ és també una distància sobre $d$ , i com comparteix sobre $E \times E$ els mateixos valors que $d$ , es denota també de la mateixa manera, és a dir, direm que $(E,d)$ és subespacio mètric de $(X,d)$ .

Distància d'un punt a un conjunt

Si $(X,d)$ és un espai mètric, $E \subset X$ , $E \ne \varnothing$ i $x \in X$ , podem definir la distància del punt $x$ al conjunt $E$ de la següent manera: $d(x,E):= inf \{d(x,y): y \in E\}$ .

És de destacar les següents tres coses:

En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà aquesta distància, $d$ doncs té per domini $X \times X$ , així que per qualsevol $y \in E$ existirà un únic valor real positiu $d(x,y)$ . Per la completitud d'i $\mathbb{R}$ com la imatge de d està fitada inferiorment per 0, queda garantida l'existència de l'ínfim d'aquest conjunt, això és, la distància del punt al conjunt.

Si $x \in E$ llavors $d(x,E)=0$ .

Pot ser $d(x,E)=0$ que però $x \notin E$ , per exemple si $x$ és un punt d'adherència de $E$ . De fet, la clausura d'és $E$ precisament el conjunt dels punts que $X$ tenen distància 0 a $E$ .

Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un plànol no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana.

Distància entre dos conjunts

Si $(X,d)$ és un espai mètric, $A \subset X$ i $B \subset X$ , $A \ne \varnothing$ , $B \ne \varnothing$ , podem definir la distància entre els conjunts $A$ i $B$ de la següent manera: $d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}$ .

Per la mateixa raó que abans, sempre està definida. A més $d(A,A)=0$ , però pot ocórrer que $d(A,B)=0$ i no obstant això $A \ne B$ . És més, podem tenir dos conjunts tancats la distància dels quals sigui 0 i no obstant això siguin disjuntos, i fins i tot que tinguin clausures disjuntas. Per exemple, el conjunt $A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$ i el conjunt $B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}$ . D'una banda, $A=cl(A)$ , $B=cl(B)$ i $A \cap B = \varnothing$ , i per $d(A,B)=0$ un altre .

La distància entre dues rectes, la distància entre dos plànols, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana.