Àrea

àrea - Wikilingue - Encydia

Contingut

1 Història
2 Àrea de figures planes
3 Àrea de superfícies corbes
- 3.1 Superfície de revolució
- 3.2 Càlcul general d'àrees
4 Unitats de mesura de superfícies
- 4.1 Sistema mètric (SI)
- 4.2 Sistema anglosaxó d'unitats
5 Vegeu també
6 Referències
7 Bibliografia
8 Enllaços externs

Aquest article tracta sobre el concepte geomètric. Per a altres usos d'aquest terme, vegeu Àrea (desambiguació).

Àrea és l'extensió o superfície compresa dins d'una figura (de dues dimensions), expressada en unitats de mesura denominades superficials. Per a superfícies planes el concepte és intuïtiu. Qualsevol superfície plana de costats rectes pugues triangularse i es pot calcular la seva àrea com sumeixi dels seus triangles.

No obstant això, per calcular l'àrea de superfícies corbes es requereix introduir mètodes de geometria diferencial.

Per poder definir l'àrea d'una superfície en general –que és un concepte mètric–, s'ha d'haver definit un tensor mètric sobre la superfície en qüestió: quan la superfície està dins d'un espai euclidià, la superfície hereta una estructura mètrica natural induïda per la mètrica euclidiana.

Història

La idea que l'àrea és la mesura que proporciona la grandària de la regió tancada en una figura geomètrica prové de l'antiguitat. En l'Antic Egipte, després de la crescuda anual de riu Nil inundant els camps, sorgeix necessitat de calcular l'àrea de cada parcel·la agrícola per restablir els seus límits; per solucionar això, els egipcis van inventar la geometria, segons Heródoto.^[1]

La manera de calcular l'àrea d'un polígon com la suma de les àrees dels triangles, és un mètode que va ser proposat per primera vegada pel savi grec Antifón cap a l'any 430 a. C. Trobar l'àrea d'una figura corba entranya més dificultat. El mètode d'esgotament consisteix a inscriure i cincunscribir polígons en la figura geomètrica, augmentar el nombre de costats d'aquests polígons i trobar l'àrea buscada. Amb aquest sistema, que es coneix com a mètode d'exhausción d'Eudoxo , va aconseguir trobar la fórmula per calcular l'àrea d'un cercle. Aquest sistema va ser emprat temps després per Arquimedes per resoldre altres problemes similars,^[2] així com el càlcul aproximat del nombre π

Àrea de figures planes

Àrea d'un triangle

L'àrea d'un triangle es calcula mitjançant la següent fórmula:^[3]

$A =\frac{b\cdot h}{2}$

on b és la base del triangle i h és l'altura corresponent a la base. (es pot considerar qualsevol costat com a base)

Si el triangle és rectangle, l'altura coincideix amb un dels catets, i la fórmula quedaria de la següent forma:

$A =\frac{a\cdot b}{2}$

on a i b són els catets.

Si el que coneixem és la longitud dels seus costats apliquem la fórmula d'Herón.

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

on a, b , c són els valors de les longituds dels seus costats s = ½ (a + b + c) és el semiperimetro del triangle.

Si el triangle és equilàter, de costat a, la seva àrea està donada per

$A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

Àrees.

Àrea d'un quadrilàter

El rectangle és un paral·lelogram els angles del qual són tots de 90º; l'àrea seria la multiplicació de dues dels seus costats contigus a i b:^[3]

$A = a \cdot b \,$

El rombe, que els seus 4 costats són iguals, té la seva àrea donada pel semiproducto de les seves dues diagonals:

$A = \frac{D\cdot d}{2}$

El quadrat és el polígon regular de quatre costats, és alhora un rectangle i un rombe, per la qual cosa la seva àrea pot ser calculada de la mateixa manera que la d'aquests dos. En particular, atès que els seus costats són iguals, s'usa la fórmula:^[3]

$A = l \cdot l \, = l^2$

El romboide té la seva àrea donada pel producte un dels seus costats i la seva altura respectiva:^[3]

$A = b\cdot h\,$

El trapezi (que té dos costats paral·lels entre si i dos costats no paral·lels) l'àrea dels quals ve donada per la mitjana aritmètica dels seus costats paral·lels multiplicat per la distància entre ells (altura):^[3]

$A = \frac{1}{2}h(B+d)$

El trapezoide o quadrilàter totalment irregular que té els seus quatre angles diferents i costats de longituds desiguals. En aquest cas l'àrea es pot obtenir mitjançant triangulació sent:

$A = \frac{1}{2}\left(a_1a_2 \sin \alpha + b_1b_2 \sin \beta \right)$

Sent:

$\alpha\,$ l'angle comprès entre els costats $a_1\,$ i $a_2\,$ .

$\beta\,$ l'angle comprès entre els costats $b_1\,$ i $b_2\,$ .

Àrea del cercle i l'el·lipse

L'àrea d'un cercle, o la delimitada per una circumferència, es calcula mitjançant la següent expressió matemàtica:^[4]

$A = \pi \cdot r^2\,$

L'àrea delimitada entre la gràfica de dues corbes pot calcular-se mitjançant la diferència entre les integrals d'ambdues funcions.

L'àrea delimitada per una el·lipse és similar i s'obté com a producte del semieix major pel semieix menor multiplicats per π:^[5]

$A = \pi \cdot a \cdot b$

Àrea delimitada entre dues funcions

Una forma per trobar l'àrea delimitada entre dues funcions, és utilitzant el càlcul integral:

$A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

El resultat d'aquesta integral és l'àrea compresa entre les corbes: $f(x)\,$ i $g(x) [< f(x)]\,$ en l'interval $[a,b]\,$ .

Exemple

Si es vol trobar l'àrea delimitada entre l'eix x i la funció $f(x) = 4 - x^2$ en l'interval $[-2;2]$ , s'utilitza l'equació anterior, en aquest cas: $g(x)=0$ llavors avaluant la integral, s'obté:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}$

Pel que es conclou que l'àrea delimitada és $\frac{32}{3}$ .

El volum tancat entre dues funcions també pot ser reduït al càlcul d'una integral, similar.

Àrea de superfícies corbes

L'àrea d'una superfície corba és més complex i en general suposa realitzar algun tipus d'idealització o límit per mesurar-ho.

Quan la superfície és desarrollable, com succeeix amb l'àrea lateral d'un cilindre o d'un con l'àrea de la superfície pot calcular-se a partir de l'àrea desenvolupada que sempre és una figura plana. Una condició matemàtica necessària perquè una superfície sigui desarrollable és que la seva curvatura gaussiana sigui nul·la.
Quan la superfície no és desarrollable, el càlcul de la superfície o la fórmula analítica per trobar aquest valor és més treballós. Un exemple de superfície no desarrollable és l'esfera ja que la seva curvatura gaussiana coincideix amb l'invers de la seva ràdio al quadrat, i per tant no és zero. No obstant això l'esfera és una superfície de revolució.

Superfície de revolució

Una superfície de revolució generada per una tram de la corba i=2+cos x rotada al voltant de l'eix x.

Quan una superfície corba pot ser generada fent girar un corba plana o generatriu al voltant d'un eix directriu, la superfície resultant es diu superfície de revolució i la seva àrea pot ser calculada fàcilment a partir de la longitud de la corba generatriu que en girar conforma la superfície. Si i=f(x) és l'equació que defineix un tram de corba, en girar aquesta corba al voltant de l'eix X es genera una superfície de revolució l'àrea lateral de la qual val:

$A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx$

Càlcul general d'àrees

Mitjançant la geometria diferencial de superfícies o més generalment la geometria riemanniana pot calcular-se l'àrea de qualsevol superfície corba finita. Si la superfície ve donada per la funció explícita z = f(x, i) llavors, donada una regió Ω continguda en una superfície la seva àrea resultar ser:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy$

De manera una mica més general si coneixem l'equació paramètrica de la superfície en funció de dues coordenades qualssevol o i v llavors l'àrea anterior pot escriure's com:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv$

On I, F i G són les components del tensor mètric o primera forma fonamental de la superificie en les coordenades paramètriques o i v.

Unitats de mesura de superfícies

Article principal: Unitats de superfície

Sistema mètric (SI)

Múltiples:

Quilòmetre quadrat: 10⁶ metres quadrats
Hectòmetre quadrat o Hectàrea: 10⁴ metres quadrats
Decàmetre quadrat o Àrea: 10² metres quadrats

Unitat bàsica:

metre quadrat: unitat derivada del SI

Submúltiplos:

Decímetre quadrat: 10^-2 metres quadrats
Centímetre quadrat: 10⁻⁴ metres quadrats
Mil·límetre quadrat: 10⁻⁶ metres quadrats

barn: 10⁻²⁸ metres quadrats

Sistema anglosaxó d'unitats

Les unitats més usades del sistema anglosaxó són:

Vegeu també

Referències

↑ Heródoto Històries, Llibre II.
↑ El problema de l'àrea: fca.unl.edu.ar
↑ ^a ^{b c} ^d ⁱ Spiegel i Abellanas, 1992, p.9
↑ Spiegel i Abellanas, 1992, p. 10
↑ Spiegel i Abellanas, 1992, p. 11

Bibliografia

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill (ed.). Fórmules i taules de matemàtica aplicada, Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.

Enllaços externs

El problema de l'àrea, en fca.unl.edu.ar.
El valor de l'àrea representada gràficament, en fca.unl.edu.ar.mhr:Кумдыкmwl:Ária

Obtingut de" http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/andorra.html"

Categoria: Geometria elemental

Àrea

Àrea

àrea - Wikilingue - Encydia

Contingut

Història

Àrea de figures planes

Àrea d'un triangle

Àrea d'un quadrilàter

Àrea del cercle i l'el·lipse

Àrea delimitada entre dues funcions

Àrea de superfícies corbes

Superfície de revolució

Càlcul general d'àrees

Unitats de mesura de superfícies

Sistema mètric (SI)

Sistema anglosaxó d'unitats

Vegeu també

Referències

Bibliografia

Enllaços externs

Contingut